Das Abtasttheorem


Theorie


Ein analoges Signal soll digitalisiert werden. Ein Analog-Digital-Wandler (ADU) benötigt jedoch eine bestimmte Zeit, bis er zu einen analogen Eingangswert den zugehörigen Digitalwert ermittelt hat. Anschließend kann er einen neuen analogen Wert zur 'Digitalisierung' erhalten. Die Digitalisierung eines analogen Signalverlaufs muß somit zyklisch ablaufen. Man spricht vom Signalabtasten. Eine Abtastung je Sekunde wird auch als ein Sample je Sekunde bezeichnet.

Hieraus folgt, das nur jeweils nach einer bestimmten Zeit eine digitaler Meßwert zum analogen Signalverlauf vorliegen kann. Das analoge Signal wird somit von einer Folge von digitalen Werten (ähnlich von Nadelimpulsen) beschrieben.

Soll durch Abtastung eines harmonisches (analoges) Signals dessen Frequenz und Amplitude bestimmt werden, so ist eine bestimmte Anzahl an Abtastungen je Periode notwendig, um das Signal sicher rekonstruieren zu können. Das Abtasttheorem betrachtet nun, wieviele Abtastungen notwendig sind, um ein harmonisches Signal rekonstruieren zu können.

Praktisches Beispiel



Eine Versuchsschaltung erzeugt uns eine, durch Potentiometer P1 verstellbare, Abtastfrequenz. Auf ein Sample-and-Hold verzichten wir. IC2 simuliert (durchschalten) das Abtasten des analogen Signals, das ein Sinus-Generator liefert. Kanal 1 (CH1) des Oszillographen stellt das abzutastende analoge Signal dar. Kanal 2 (CH2) des Oszillogaphen stellt das Signal dar, dass einem Analog-Digital-Wandler (zeitlich) zur Verfügung gestellt würde und dem Digitalwert entsprechen soll.
Versuchsschaltung

Oszillogamm - Korrekte Abtastung (klick)
Oszillogramm einer korrekten Abtastung (gemäß Versuchsschaltung). Der analoge Signalverlauf wird mit ca. 10 Samples/Periode (Abtastungen) digitalisiert. Das Rekonstruieren der Signalform (Frequenz, Amplitude, Nulldurchgang) ist sehr gut (aufgrund der digtalen Daten) möglich.
Gut zu erkennen ist die Signalfolge von CH2 (zyklischen Nadelimpulse).



Oszillogramm einer nicht korrekten Abtastung. Der analoge Signalverlauf wird nur mit ca. 1.13 Samples/Periode abgetastet. Das Signal kann somit nicht fehlerfrei (aufgrund der digitalen Daten) rekonstruiert werden. Es wird sogar (rot eingetragen) eine falsche Signalfrequenz ermittels (29,4Hz ermittel, original 309Hz). Man spricht jetzt von under sample.
Erst, wenn man davon ausgeht, dass ein periodisches, harmonisches Signal vorliegt, kann man aus mehreren Meßpunkten das korrekte Ausgangssignal reproduzieren.
Oszillogramm - zu niedrige Abtastrate (klick)



Resultat


Werden nur die einzelnen Sample des Abtasten betrachtet, so benötigt man pro Periode mehr wie zwei Abtastungen je Periode, wenn man die Frequenz einer harmonischen Schwingung und deren Amplitude bestimmen will. D.h. mit 10000 Samples/Sekunde kann eine Signal mit der Frequenz von 4000 Hz noch sicher bestimmt werden. Eine Frequenz von 100 Hz kann sehr sicher bestimmt werden. Zur Bestimmung eines Signals mit der Frequenz von 5500 Hz ist die Abtastrate zu niedrig, es kann zu Fehlern, wie im Beispiel, führen.

Stellt man sicher, dass man keine der Abtastungen zum Zeitpunkt des Nulldurchganges durchführt, so kann die Frequenz auch ermittelt werden, wenn man nur zwei Abtastungen pro Periode durchführt. (Hierbei sollte die zweite Abtastung jedoch asynchron zum Zyklus erfolgen.) D.h. mit 10000 Samples/Sekunde kann eine Signal mit der Frequenz von 5000Hz noch bestimmt werden.

Betrachtet man alle Meßpunkte und bezieht man deren Werte unter der Voraussetzung eines harmonischen, periodischen Signals ein, so kann man die Frequenz eines Signals besimmen, selbst wenn die Abtastfrequenz um den Faktor zehn niedriger ist, wie die Frequenz. Mathematik und asynchrone Abtastverfahren sind hierfür aber notwendig. D.h. mit 1000 Samples/Sekunde kann eine Signal mit der Frequenz von 9000 Hz bestimmt werden